Newton, logogryf - ciekawostki

Jedną z anegdot, powstała na potwierdzenie szczególnego roztargnienia Sir Isaaca Newtona, opowiada, że podczas pewnego przyjęcia, zupełnie nie zdając sobie sprawy z tego co robi, uczony użył palca siedzącej obok damy do rozgniecenia tytoniu w swojej fajce. Rzecz jasna, fajka była zapalona.

Inną anegdotą jest zapis

6a cc d ae 13eff7i 31 9n4o4q rr 4s 9t 12 vx,

złożony zarówno z liter, jak i cyfr. To logogryf, którego Newton używał do kodowania wyników swoich badań, aby Leibniz nie mógł ich odczytać i przypisać sobie ich autorstwa. Mówi się, że ten ostatni więcej pracy musiałby włożyć w odszyfrowanie samego kodu, niż w zrozumienie zawartych w nim sekretów.

Trójkąty
 
Wielokątem o najmniejszej liczbie boków jest trójkąt, czyli płaszczyzna ograniczona najmniejszą liczbą linii prostych.

Trójkąt pitagorejski

Trójkąt pitagorejski to trójkąt prostokątny, którego długości boków są wyrażone liczbami naturalnymi.

Przykłady trójkątów pitagorejskich: (3,4,5), (5,12,13), (7,24,25).

Trójkąt Egipski

Trójkąt o bokach 3, 4, 5 to jedyny trójkąt prostokątny, którego długości boków są kolejnymi liczbami naturalnymi. Nazywa się go trójkątem egipskim, ponieważ był używany przez Egipcjan do wyznaczania kąta prostego w terenie.

Trójkąt Pascala

Trójkąt Pascala to trójkątna tablica, której pierwszy wiersz stanowi liczba 1, a każdy następny powstaje w ten sposób, że pod każdymi dwoma sąsiednimi wyrazami poprzedniego wiersza wpisuje się ich sumę, a na początku i na końcu każdego nowego wiersza dopisuje się jedynki.

Liczby widniejące w n+1 wierszu trójkąta są współczynnikami rozwinięcia n-tej potęgi dwumianu. W czwartym wierszu, na przykład, stoją: 1, 3, 3, 1, a trzecia potęga, czyli sześcian dwumianu, dany jest wzorem:

 
(a+b)3 = a3 +

3a2b + 3ab2 +

b3

Trójkąt Pascala jest ściśle związany z symbolem Newtona.

Szyfr Cezara

Jeden z najstarszych sposobów szyfrowania pochodzi od Juliusza Cezara, który szyfrował swoją korespondencję z Cyceronem. Sposób ten polegał na tym, że zamiast każdej litery pisał literę występującą w alfabecie trzy miejsca dalej. Tak więc, jeśli użyjemy dzisiejszego alfabetu łacińskiego

A B C D E F G H I J K L M N O P Q R S T U V W X Y Z

to zamiast c będziemy pisać f, zamiast g piszemy j, zamiast y piszemy b. Alfabet traktujemy cyklicznie, tzn. po ostatniej literze z następuje znów litera a itd.

System kryptograficzny to, sposób szyfrowania. W powyższym przykładzie polega on na tym, że zamiast danej litery alfabetu piszemy literę występującą w tym samym alfabecie ileś miejsc dalej. System kryptograficzny polega tu na pisaniu litery stojącej k miejsc dalej, a liczba k jest kluczem. Szyfrowanie więc polega na wyborze algorytmu szyfrowania, zwanego systemem kryptograficznym i pewnych parametrów, od których ten algorytm jest zależny, nazywanych kluczem szyfrowania.

Szyfr Cezara bardzo łatwo jest opisać w sposób matematyczny. Kolejnym literom alfabetu łacińskiego przyporządkujemy liczby od 0 do 25.

Oznaczenie a mod b oznacza resztę z dzielenia liczby całkowitej a przez dodatnią liczbę

całkowitą b. System kryptograficzny Cezara może teraz być zdefiniowany wzorem:

 
C = (n + k) mod 26,

gdzie k jest kluczem szyfrowania, n jest numerem litery, którą szyfrujemy, a C jest numerem litery po zaszyfrowaniu.

Każdą zaszyfrowaną wiadomość trzeba kiedyś rozszyfrować. W szyfrze Cezara znajdujemy literę stojącą w alfabecie trzy miejsca bliżej, czyli stosujemy ten sam algorytm szyfrowania z innym kluczem. Do szyfrowania używamy klucza +3, a do rozszyfrowywania klucza -3. Gdy znamy klucz szyfrowania, to znamy też klucz rozszyfrowywania. Tak naprawdę jest to ten sam klucz, jeśli pominiemy jego znak.  

Rozszyfrowywanie odbywa się według wzoru

C = (n - k) mod 26,

 
Najtańsza furmanka

Pewien obywatel małego miasteczka znany był ze skąpstwa. Gdy miał sprawę w powiatowym mieście odległym o 25 kilometrów, polował na sąsiada, by prosić o podwiezienie. Pewnego razu kręcił się po rynku miasta szukając, kto by mógł go odwieźć za darmo do domu. Nikogo nie było, więc musiał wziąć płatną furmankę. Obszedł wszystkich dorożkarzy urządzając przetarg ofertowy. Ten chciał 250, ten 200, ów 150 złotych. Wszystkie te ceny wydały się skąpemu jegomościowi nie do przyjęcia. Dotarł wreszcie do stojącego na uboczu chłopa z nędznym wózkiem i nędzną szkapiną. Zapytany ile zechce za odwiezienie, chwilę popatrzył w ziemię, poskrobał się po głowie i wreszcie odparł:

 - Za pierwszy kilometr grosz mi pan dasz, nie będzie chyba za wiele. Za drugi to już dwa, bo droga ciężka, na trzecim idzie pod górę, to mi pan dasz 4 grosz, a tam koń będzie zmęczony, i góra jeszcze większa to dostanę znów dwa razy tyle groszy i dalej tak już do końca.

- Ot głupi chłop - pomyślał mieszczuch ledwie powstrzymując się od śmiechu - na grosze liczy. Zgodził się i z pośpiechem dosiadł wózka. Pojechali, ale gdy dojechali, okazało się iż skąpy mieszczuch musiał za tę jazdę oddać wszystko co miał i jeszcze sam został u niego parobkiem, gdyż owa furmanka kosztowała ni mniej, ni więcej tylko 335 554 zł i 31 gr. Tyle bowiem wynosi suma postępu geometrycznego: 1, 2, 4, 8, 16, ... złożonego z 24 wyrazów.

Honorarium wynalazcy

Podanie głosi, że twórca szachów, uczony Sissa-Nassir - gdy władca Indii, zachwycony nową grą, obiecał wynagrodzić go wszystkim, czego zapragnie - zażądał zapłaty pozornie skromnej, chciał bowiem otrzymać tyle tylko zboża, ile przypadnie, gdy poprzez wszystkie 64 pola szachownicy podwajane będzie jedno ziarenko złożone na pierwszym polu. Władca Indii, nie był w stanie w możności takiego honorarium uiścić. Owa zapłata to suma szeregu, złożonego z potęg liczby 2 z wszystkimi kolejnymi wykładnikami od 0 do 63, co wyniesie: 18 446 774 073 709 551 615 ziaren. Aby osiągnąć taką ilość zboża, należałoby zasiać całą ziemię kilkakrotnie i zebrać żniwo. I tak oto okazało się, że władca nie wszystkim może obdarować wynalazcę.

Dziura budżetowa

Matematyka znalazła przyczynę współczesnych problemów gospodarczych, dziury budżetowej, bezrobocia. Winny jest Bolesław Chrobry, gdyż gdyby w roku 1000 złożył w banku chociaż jeden grosz przy oprocentowaniu 4% rocznie i przy corocznym doliczaniu odsetek, w roku 2000 mielibyśmy w kasie państwa dodatkowe 1 071 500 000 000 000 zł, czyli ponad milion miliardów złotych.

Parszywa dwunastka

Pewnego dnia dwunastu bardzo uprzejmych panów spotkało się na obiedzie. Ponieważ gospodarz nie wyznaczył, gdzie który ma usiąść, zaproszeni panowie zaczęli prześcigać się w grzeczności, ustępując miejsca jeden drugiemu.

Jeden z panów chcąc uprościć sprawę zaproponował losowanie; inny – był to matematyk - nalegał na wypróbowanie wszystkich możliwych sposobów rozmieszczenia 12 osób przy jednym stole. Goście przychylili się do jego propozycji, ale wkrótce musieli przerwać tę zabawę wskutek wielkiego zamieszania, które przy tym powstało. Więc grzeczni panowie usiedli zwyczajnie bez niepotrzebnych ceremonii.

Po skończonym obiedzie, gdy wszyscy siedzieli przy kawie, matematyk wytłumaczył zebranym, że gdyby jedną zmianę miejsc przy stole można było wykonać w ciągu jednej sekundy i gdyby goście zmieniali zajmowane miejsca bez przerwy, na tę bezsensowną grę potrzeba byłoby około 15 lat i 2 miesięcy.

Liczba wszystkich przemieszczeń 12 osób przy stole jest równa 12! (silnia)

12! = 1 • 2 • 3• 4 • 5 • 6 • 7 • 8 • 9 • 10 • 11 • 12 = 479 001 600.

Przyjmując, że jedno przemieszczenie trwa jedną sekundę mamy: 479 001 600 sekund co daje w przybliżeniu 15 lat i 2 miesiące.

 
Słuszny podział zapłaty

Dwaj arabowie wędrowali przez pustynię. Do najbliższej oazy było jeszcze pół drogi. Z zapasów żywności pozostało im tylko 8 sucharów: 3 należały do jednego, 5 do drugiego. Spotkali na drodze samotnego podróżnego wycieńczonego głodem. Ulitowali się nad nim i wspólnie z nim spożyli swe zapasy. Przy rozstaniu ów podróżny, by okazać im wdzięczność, wręczył przygodnym kompanom tytułem zapłaty 8 jednakowych złotych monet.

Przy podziale doszło do kłótni. Arab bowiem, który miał pięć sucharów, zażądał dla siebie 5 złotych monet, tymczasem jego towarzysz chciał otrzymać 4 monety twierdząc nie bez słuszności, że obaj przyczynili się do uratowania życia głodnego podróżnego.

Nie mogąc się zgodzić na sposób podziału, po przybyciu do oazy zwrócili się do kadiego, miejscowego sędziego, z prośbą, by spór ich rozstrzygnął. Ten zawyrokował w sposób dla obu nieoczekiwany:

- Jesteście obaj w błędzie. Przypuśćmy, że każdy z waszych sucharów podzieliliście na trzy części; w ten sposób otrzymaliście 24 części. Dalej przypuśćmy, że każdy z was spożył 8 części. Ten który miał 5 sucharów, to jest 15 części, oddał trzeciemu podróżnemu 7 części, a jego towarzysz ze swoich 3 sucharów ujął tylko 1 część. Z tego wynika, że monety powinny być tak podzielone: 7 monet należą się jednemu z was, a tylko jedna drugiemu.

Ilość włosów na głowach ludzkich

Znany filozof XVII wieku Piotr Nicole, w rozmowie z pewną Paryżanką, żartobliwie zapewnił, że może się z nią założyć i wykazać, iż w Paryżu przynajmniej dwie osoby mają tę samą ilość włosów, chociaż wskazać tych osób nie byłby w stanie. Kobieta ta jednak z całą stanowczością odrzekła, że wówczas zostałaby dopiero przekonana gdyby mogła u tych osób zliczyć włosy...
- Przypuszczam - rozpoczął swe rozumowanie ów filozof - że głowa z najpiękniejszym uwłosieniem nie ma więcej nad 200 000 włosów, a z najuboższym uwłosieniem - jeden włos! Jeżeli teraz przypuścimy że z 200 000 osób każda ma inną ilość włosów to musimy przyjąć, że każda z tych głów ma liczbę włosów zawierającą się w przedziale od jedności do 200 000.
Gdyby bowiem przypuścić, że chociaż dwie osoby z pośród tych 200 000 mają jednakowe ilości włosów, zakład tym samym byłby już przeze mnie wygrany. A więc, jeśli przyjmiemy, że z pośród 200 000 osób każda ma inną ilość włosów to dodając jeszcze jednego mieszkańca, którego owłosienie głowy nie przekracza 200 000 włosów, z konieczności musimy stwierdzić, że liczba jego włosów - jakakolwiek jest - musi się znaleźć między jednością a 200 000. Innymi słowy liczba włosów dwustutysięcznej pierwszej głowy będzie się równała liczbie włosów posiadanych przez jedną z dwustu tysięcy osób. Jeśli zaś w Paryżu jest 800 000 głów to łatwo przewidzieć, że będzie wśród nich wiele głów o jednakowej ilości włosów, tylko że ja ich nie liczyłem. Podobno uparta niewiasta uznała rozumowanie filozofa za zbyt filozoficzne i skomplikowane i nie chciała uznać się za przekonaną.

Związek pitagorejski

Świat to harmonią. Świat to liczba. Tego nie rozumie naprawdę nikt oprócz nas. Związek pitagorejski to związek założony ok. 532 p.n.e. przez Pitagorasa po jego przybyciu do Krotony. Zorganizowany na wzór stowarzyszeń orfickich, zrzeszał zarówno mężczyzn, jak kobiety. Pitagorejczycy zajmowali się kwestiami etycznymi, brali czynny udział w polityce i intrygach świata antycznego. Związek zasłynął jednak nie z powodu swoich przekonań i wierzeń, ale z powodu wkładu, jaki wniósł do nauki. Przyjęcie do związku pitagorejskiego poprzedzone było pięcioletnim okresem próby. Jego członków obowiązywał niezwykle rygorystyczny tryb życia oraz wspólnota mienia.

Główne dogmaty szkoły pitagorejskiej, to:

1. Droga do Wstąpienia wiedzie przez oczyszczenie duszy, czyli naukę, ascezę i doświadczenie mistyczne.

2. Pitagorejczycy związani są więzami dozgonnej przyjaźni i lojalności. Gdy zachodzi potrzeba oddają życie jeden za drugiego.

3. Bezwzględnie należy szanować mentora i być mu zawsze posłusznym.

4. Uczniowie Pitagorasa nie składają przysiąg. Każde ich słowo jest prawdziwe.

5. Swoje osiągnięcia naukowe i magiczne przedstawiać należy bez chęci wyróżnienia się, najlepiej anonimowo.

Prace pitagorejczyków były objęte tajemnicą, a większą część wiedzy przekazywano sobie z ust do ust. Powstał podział: istnieli akuzmatycy, którym przekazywano wyniki, lecz bez dowodów, oraz matematycy, którzy mieli dostęp zarówno do wyników jak i dowodów. Do rozwoju wszystkich teorii przyczyniła się przede wszystkim świadomość pitagorejczyków, że świat jest harmonią i przeświadczenie, że liczba jest podstawą tej harmonii.  Szkoła pitagorejska przetrwała 150 lat i liczyła w sumie 218 pitagorejczyków. Nie wszyscy jednak byli matematykami. W śród matematyków znaleźli się: Hipokrates z Chios, Teodor z Cyrenei, Filolaos, Archytas z Tarentu, Hippiasz.

W szkole pitagorejskiej narodziły się trzy wielkie problemy:

1. podwojenie sześcianu,
2. podział kąta na trzy części (trysekcja kąta),
3. kwadratura koła, które należało rozwiązać za pomocą cyrkla i linijki bez podziałki.

Podczas okresu istnienia szkoły, pitagorejczycy odkryli twierdzenie o sumie kątów dowolnego wielokąta, rozpatrywali wielościany foremne. Poza zagadnieniami z zakresu geometrii interesowali się teorią liczb. Spośród wszystkich liczb naturalnych wyróżnili pewne nieskończone ciągi liczb zwane liczbami wielokątnymi. Rozpatrywali tak zwane liczby gnomiczne i liczby doskonałe, szukali par liczb zaprzyjaźnionych oraz zajmowali się proporcjami. Szczególne znaczenie dla dalszego rozwoju matematyki miało odkrycie liczb niewymiernych. Im zawdzięczamy też nazwy hiperbola, parabola, elipsa. Wreszcie udowodnili twierdzenie nazwane potem twierdzeniem Pitagorasa.

Odkrycia liczb niewymiernych Pitagorejczycy dokonali w związku z odkryciem twierdzenia o przeciwprostokątnej, które dziś nazywamy twierdzeniem Pitagorasa. Okazało się , że istnieją związki geometryczne, których nie można wyrazić żadną znaną liczbą. Podważało to ich cały światopogląd, według którego liczba rządzi nie tylko miarą i wagą, ale także wszystkimi zjawiskami zachodzącymi w przyrodzie. Liczby te, które nie są ani liczbami naturalnymi, ani ułamkami nazwano alogoj - niewyrażalne. Pitagorejczycy nie rozumieli liczby jako abstrakcji, lecz rozumieli ją jako przestrzenną wielkość, jako realny kształt. Na skutek utrzymywania tego odkrycia w tajemnicy, nastąpił rozłam wśród pitagorejczyków. Jedni domagali się wymiany informacji i odtajnienia wyników badań i odkryć, inni dążyli do zachowania tajności.

 Oto ułożona przez nich następującą symbolika liczb:

1 - oznaczała punkt,

2 - linia,

3 - figura geometryczna,

4 - ciało geometryczne (figura w przestrzeni),

5 - własności ciał fizycznych,

6 - życie,

7 - duch,

8 - miłość,

9 - roztropność, sprawiedliwość,

10 - doskonałość wszechświata

 
Trzy greckie problemy

Pomiędzy wielu problemami geometrii, trzy wzbudzały szczególne zainteresowanie pierwszych matematyków greckich. Problemy te absorbowały umysł ludzki przez tysiąclecia, zanim udało się poznać ich głębię i stopień trudności, mimo ich pozornie prostej treści. Oto one:

• Kwadratura koła - konstrukcja kwadratu, którego powierzchnia równa jest powierzchni danego koła.
• Trysekcja kąta - podział kąta płaskiego na trzy równe części.
• Problem delijski (podwojenie sześcianu) - określenie wymiarów sześcianu,
• którego objętość byłaby dwukrotnie większa od objętości sześcianu danego.

 Wszystkie te trzy problemy miały być rozstrzygnięte wyłącznie sposobem geometrycznym i tylko przy użyciu cyrkla i linijki, na której nie ma żadnej podziałki. Pierwsi tymi problemami zajmowali się Pitagorejczycy, nie osiągnęli jednak sukcesu w ich rozwiązaniu. Właściwe ich postawienie zawdzięczamy Platonowi i jego szkole, w której mimo wielu wysiłków również nie osiągnięto istotnych rezultatów. Na przestrzeni wieków powstawały rozmaite konstrukcje przybliżone lub dokładne - oparte jednak na dodatkowych środkach pomocniczych.

Długie stulecia zajmowano się tymi zagadnieniami, ani nie mogąc podać prawidłowego ich rozwiązania, ani też nie mogąc dowieść, że są one nierozwiązalne. Dopiero w wieku XVIII, niemiecki matematyk Carl Friedrich Gauss rozwiązał szereg skomplikowanych zagadnień algebraicznych, nad którymi głowiły się dotychczas bezowocnie całe pokolenia matematyków, a na początku XIX wieku Gauss wykazał niemożliwość rozwiązania problemu delijskiego i trysekcji kąta za pomocą cyrkla i linijki. Kilkadziesiąt lat później udowodniono to samo w stosunku do kwadratury koła.

Kwadratura koła

Problem kwadratury koła sformułowano w szkole pitagorejskiej w starożytnej Grecji. Problem ten dotyczył właśnie koła i kwadratu. Czy za pomocą linijki i cyrkla można skonstruować kwadrat, który miałby taką samą powierzchnię, co dane koło? 
Tak jak niełatwo było udowodnić, że stosunek między bokiem kwadratu i jego przekątną nie może być wyrażony przez liczbę wymierną, tak samo trudno było wykazać, że podobnie rzecz ma się z kołem. Przez setki lat problemem kwadratury koła zajmowali się matematycy, nie mogąc problem rozwiązać, ani też nie mogąc dowieść, że jest to niewykonalne. Niezliczone próby przedstawienia takiej konstrukcji bez wyjątku kończyły się fiaskiem. Dopiero w drugiej połowie XVIII wieku matematyk Johan Heinrich Lambert ustalił niewymierność liczby π, co oznaczało, że liczby tej nie da się przedstawić pod postacią ułamka. Sto lat później, w 1882 roku, Ferdinand von Lindemann udowodnił, że liczba π jest liczbą przestępną. A żadna liczba przestępna nie może powstać za pomocą linijki i cyrkla.

W ten sposób udowodniono, że jeden z najstarszych problemów matematycznych - kwadratura koła jest niemożliwa. Kwadratura koła stała się synonimem nierozwiązywalnego zadania. Wyrażenie to weszło do języka potocznego dla określenia skazanych na niepowodzenie prób podejmowanych przez kogoś, kto upiera się, by zrealizować coś niemożliwego.

Trysekcja kąta

Problem ten sięga swoją historią do pitagorejczyków. W związku z konstrukcją wielokątów foremnych interesowali się oni podziałem okręgu na równe części. Podział na 2, 3, 4, 5, 6, 8, 10, 12, 15 równych części udało się im przeprowadzić za pomocą linijki i cyrkla. Natomiast podział okręgu na 7, 9, 11, 13 równych części stwarzał niepokonane trudności. Szczególnie intrygował pitagorejczyków podział na 9 równych części prowadzący do konstrukcji dziewięciokąta foremnego. Aby otrzymać dziewięciokąt foremny, wystarczyłoby tylko odpowiedni kąt środkowy mający 120° podzielić na trzy równe części. Tu więc spotykamy problem trysekcji kąta. Podział tego kąta na 3 równe części nastręczał rozwiązującym niepokonane trudności. 
Niemożliwe jest podanie metody podzielenia cyrklem i linijka dowolnego kąta na trzy równe części. Kąty dzielą się na takie, które da się podzielić na trzy części cyrklem i linijką (np. 90°), oraz na takie, których cyrklem i linijką nie da się podzielić na trzy równe części (np. 120°). Oczywiście, jeśli użyć odpowiednich narzędzi, to za ich pomocą można dokonać trysekcji dowolnego kąta (tzw. konstrukcja neusis), tak Dinostarates dokonał trysekcji za pomocą kwadratrysy.

 
Problem delijski

Delos jest jedną z wysp greckiego archipelagu, czczoną niegdyś jako domniemane miejsce urodzin Apollona i Artemidy. Legenda głosi, że gdy zaraza nawiedziła Ateny, mieszkańcy miasta wysłali posłańca do wyroczni Apollona w Delos z pytaniem, co robić w tej sytuacji. Wyrocznia odrzekła, że warunkiem zakończenia zarazy jest dwukrotne zwiększenie ołtarza Apollona. Ołtarz miał kształt sześcianu o boku długości jednego łokcia, tak więc Ateńczycy w pośpiechu wybudowali nowy ołtarz, który był sześcianem o boku długości dwóch łokci. Zaraza jednak nie ustąpiła, ponieważ jak wyjaśniła wyrocznia, nowy ołtarz był osiem razy większy od poprzedniego. Spróbowali raz jeszcze, stawiając obok siebie dwa sześciany, każdy o boku długim na jeden łokieć. I tym razem zaraza nie ustąpiła, bowiem ołtarz przestał być sześcianem.

Ateńczycy nie mogli zrozumieć, dlaczego nie mogą rozwiązać problemu, który wydawał się tak łatwy. Okazało się, że są bezsilni. Zrozpaczeni postanowili zwrócić się do największych matematyków tych czasów. Archytas z Tarentu zaproponował przecięcie trzech płaszczyzn - stożka, walca i torusa. Menechem posłużył się dwiema stożkowymi: hiperbolą i parabolą. Hippiasz z Elis rozwiązał problem technicznie. Wszystkie te krzywe, wymyślone przez matematyków, były krzywymi mechanicznymi, nie były krzywymi geometrycznymi. Zastosowane sposoby były podlejszej natury i w dodatku posługiwały się ruchem i szybkością. Nie można było jednak za pomocą ruchomych konstrukcji zbudować świątyni w Delos. Dżuma trwała dalej. Wtedy Ateńczycy zwrócili się do Platona. Odpowiedział im: Jeśli Apollon domaga się tej konstrukcji ustami wyroczni, to przecież nie dlatego, że potrzebuje podwójnego ołtarza. To dlatego, że ma za złe Grekom lekceważenie matematyki i ich niechęć do geometrii.

Dżuma w Atenach wygasła

Wygląda na to, że Apollo zadowoliłby się dopiero sześcianem o boku długości pierwiastek trzeciego stopnia z 2. Greccy geometrzy potrafili skonstruować za pomocą cyrkla i linijki odcinki długości pierwiastek kwadratowy z 2 i pierwiastek kwadratowy z 3 . Liczbę tą nazywa się liczbą delijską.Udowodnienie nierozwiązalności problemu sprowadza się mniej więcej do takiego rozumowania: Aby podwoić sześcian o krawędzi a, trzeba znaleźć odcinek długości x, który odpowiada równaniu x do potęgi 3 = 2 * a do potęgi 3. Mamy tu do czynienia z równaniem stopnia trzeciego. Jednak geometria koła i linii prostej nie doprowadza do rozwiązania równań stopnia trzeciego. Zadanie to więc z ograniczeniem, iż ma być wykonane za pomocą cyrkla i linijki jest nierozwiązalne.

 
Prawdopodobieństwo trafienia 6 w lotto

Zwolennicy gier liczbowych (np. Dużego Lotka) wiedzą jak trudno jest trafić choćby trójkę, nie mówiąc nic o szóstce. Prawdopodobieństwo trafienia szóstki wynosi 1/14 000 000, oznacza to, że jest możliwych 14 mln kombinacji 6-cio elementowych ze zbioru 49-cio elementowego. Prawdopodobieństwo trafienia piątki wynosi około 1/54500, prawdopodobieństwo trafienia czwórki: 1/1040, oraz prawdopodobieństwo trafienia trójki 1/57.

Oblicz pole trójkąta 

Pole trójkąta można obliczy dość prosto nie znając jego wysokości, znając tylko długości boków. Jest pierwiastek z następującego działania: (a+b+c)/2*(a+b-c)/2*(a-b+c)/2*(-a+b+c)/2

Ciało ludzkie 

Uczeni oceniają, że ciało ludzkie składa się z 10 + 28 zer atomów. Silnki robiący 33 obroty na sekundę musiałby się obracać 10 000 000 000 000 000 000 lat, żeby ilość obrotów dorównała liczbie ludzkich atomów. Kto by pomyślał jacy my jesteśmy skomplikowani...

Pi ponad 1000 miejsc po przecinku

3,1415926535897932384626433832795028841971693993751058209749445923078164062862089986280
348253421170679821480865132823066470938446095505822317253594081284811174502841027019385
211055596446229489549303819644288109756659334461284756482337867831652712019091456485669
234603486104543266482133936072602491412737245870066063155881748815209209628292540917153
643678925903600152138414695194133053054882661511609433057270365759591953092186117381932
611793105118548074462379962749567351885752724891227938183011949129833673362440656643086
021394946395224737190702179860943702770539217176293176752384674818467669405132000568127
145263560827785771342757789609173637178721468440901224953430146549585371050792279689258
923542019956112129021960864034418159813629774771309960518707211349999998372978049951059
731732816096318595024459455346908302642522308253344685035261931188171010003137838752886
587533208381420617177669147303598253490428755468731159562863882353787593751957781857780
532171226806613001927876611195909216420198938095257201065485863278865936153381827968230
30195203530185296899

Palindrom

Liczbę naturalną, którą czyta się tak samo od początku i od końca nazywamy palindromem. Przykłady liczb palindromicznych: 22, 747, 21712, ...  

Piramida Cheopsa

Piramida Cheopsa jest największym na świecie ostrosłupem prawidłowym czworokątnym. Ma 146m wysokości, a krawędź jej podstawy wynosi 230m. Na zbudowanie tej piramidy zużyto 2 300 000 bloków granitowych o ciężarze od 2,5 t do 15t. Gdyby z tego materiału zbudować mur o wysokości 3m i grubości 25cm to opasałby on całą Polskę. W piramidzie Cheopsa stosunek sumy dwóch boków podstawy do wysokości wynosi 3,1416, czyli przybliżenie pi z dokładnością czterech miejsc po przecinku.

Ciekawe przypadki działań matematycznych

3 x 37 = 111, a 1 + 1 + 1 = 3

6 x 37 = 222, a 2 + 2 + 2 = 6

9 x 37 = 333, a 3 + 3 + 3 = 9

12 x 37 = 444, a 4 + 4 + 4 = 12

15 x 37 = 555, a 5 + 5 + 5 = 15

18 x 37 = 666, a 6 + 6 + 6 = 18

21 x 37 = 777, a 7 + 7 + 7 = 21

24 x 37 = 888, a 8 + 8 + 8 = 24

27 x 37 = 999, a 9 + 9 + 9 = 27

1 x 1 = 1

11 x 11 = 121

111 x 111 = 12321

1111 x 1111 = 1234321

11111 x 11111 = 123454321

111111 x 111111 = 12345654321

1111111 x 1111111 = 1234567654321

11111111 x 11111111 = 123456787654321

111111111 x 111111111=12345678987654321

1 x 9 + 2 = 11

12 x 9 + 3 = 111

123 x 9 + 4 = 1111

1234 x 9 + 5 = 11111

12345 x 9 + 6 = 111111

123456 x 9 + 7 = 1111111

1234567 x 9 + 8 = 11111111

12345678 x 9 + 9 = 111111111

123456789 x 9 +10 = 1111111111

9 x 9 + 7 = 88

98 x 9 + 6 = 888

987 x 9 + 5 = 8888

9876 x 9 + 4 = 88888

98765 x 9 + 3 = 888888

987654 x 9 + 2 = 8888888

9876543 x 9 + 1 = 88888888

98765432 x 9 + 0 = 888888888

1 x 8 + 1 = 9

12 x 8 + 2 = 98

123 x 8 + 3 = 987

1234 x 8 + 4 = 9876

12345 x 8 + 5 = 98765

123456 x 8 + 6 = 987654

1234567 x 8 + 7 = 9876543

12345678 x 8 + 8 = 98765432

123456789 x 8 + 9 = 987654321

 
7 x 7 = 49

67 x 67 = 4489

667 x 667 = 444889

6667 x 6667 = 44448889

66667 x 66667 = 4444488889

666667 x 666667 = 444444888889

6666667 x 6666667 = 44444448888889

itd.

4 x 4 = 16

34 x 34 = 1156

334 x 334 = 111556

3334 x 3334 = 11115556

33334 x 33334 = 1111155556

itd.

Cykloida, co to takiego?

Gdy koło toczy się po prostej, punkt (np.: gwóźdź) na jego obwodzie opisuje cykloidę. Podczas obrotu koła w każdej chwili punkt na obwodzie koła biegnie ku najwyższemu punktowi lub ucieka od niego, a szybkość jest proporcjonalna do odległości ruchomego punktu od najniższego punktu. Długość cykloidy pomiędzy dwoma ostrzami jest równa obwodowi kwadratu opisanego na kole toczącym się. Jeżeli koło będzie się toczyć z tą samą prędkością, ale będzie dwa razy większe, i będzie miało zaznaczoną średnicę, która z początku będzie pionowa, będzie się ona stale ślizgać po cykloidzie utworzonej przez punkt na obwodzie mniejszego koła. Jeżeli punkt nie będzie umieszczony na obwodzie koła, ale bliżej środka, to otrzymamy krzywą bez ostrzy, natomiast jeśli ten punkt będzie umieszczony na przedłużeniu promienia (poza kołem), powstanie krzywa z pętlami. Ciekawy jest fakt, że kulka tocząca się po cykloidalnej rynience wyprzedza kulkę toczącą się po pochyłej płaszczyźnie, nawet jeżeli musi część ruchu odbyć w górę.

Figura geometryczna o polu równym zero

Figurą geometryczną o zerowym polu jest kwadrat sito, który powstaje poprzez wyeliminowanie z jego środka punktu, podzieleniu go na 4 kwadraty, z każdego powstałego kwadratu wyeliminowaniu środka, podzieleniu go na 4 kwadraty, itd. Po takim zabiegu pozostanie kwadrat z pozostałą nieskończoną liczbą punktów wewnątrz, ale o polu równym 0.

Przechadzki po plaży

Na piaszczystej plaży najwygodniej jest wędrować po mokrym pasie piasku pozostawionym przez wycofujące się fale. Tam piasek jest twardy, a jego powierzchnia równa, więc idzie się łatwiej niż po suchej części plaży. Aby uniknąć przemoczenia butów i skarpetek, należy ciągle uważać na fale zalewające przybrzeżny pas mokrego piasku. Można zaproponować prostą regułę postępowania: zamiast patrzeć się w bok, patrzymy w kierunku marszu: w każdym momencie widzimy chwilową granicę wody na sporym odcinku przed sobą. Należy iść w kierunku prostej dotykającej aktualnej granicy wody w jednym tylko punkcie. Kierunek ten jest zmienny, ale punkt styczności leży zazwyczaj dostatecznie daleko, aby zmiany kierunku były nieznaczne i łatwe do realizacji; nie musimy przy tym patrzeć stale w lewo ani też wykonywać nagłych skoków w prawo w ucieczce przed nadbiegającym językiem fali.

Źródło: http://www.math.edu.pl, http://matematyka-gim.neostrada.pl/zawartosc/ciekawostki.html